Neuro Lab! Algorithms
Математический способ мышления
Математический способ мышления
Ключевые тезисы из выступления Германа Вейля
17.09.1940
17.09.1940
1. “Функциональное мышление” - лозунг реформы преподавания математики в Германии в начале XX века
2. Самое важное для образованного человека - умение мыслить в терминах переменных и функций
3. Функция записывает зависимость одной переменной y от другой переменной x
4. Обобщенно функция - отображает одно множество (область значений переменного элемент x) - на другое (или тоже самое) множество
5. Понятие функции (или отображения) - одно из самых фундаментальных понятий математики
6. Виет способствовал введению адекватной алгебраической символики
7. Галилей превратил законы природы - в математическую функцию
8. Черты любой математической процедуры:
9. Время - есть независимая переменная
10. Принцип непрерывности - сформулирован Лейбницем
11. Покой - не противоположность движения, а - его предельный случай
12. Логика Аристотеля - переход от единичного к общему - за счет выявления общих абстрактных свойств и отбрасывание остальных (создание рода, класса, множества, категории)
13. П.12 - описательная классификация - ориентирована на реально существующие объекты
14. Идея функции господствует при формировании математических понятий
15. Функция порождает конкретную сущность (пример - эллипс - E(a, b, c))
16. Переход от конкретного эллипса к общему понятию (формуле функции) - не требует отбрасывания каких-либо специфических различий (vs п. 12)
17. Информация - есть действенное различие (Бейтсон. Разум и природа)
18. Общее понятие конкретной функции распространяется на все возможные, чем на все актуально существующие характеристики
19. Математика снискала дурную славу из-за разреженного воздуха абстракций
20. Вера в слова - должна быть поколеблена. Учиться мыслить - более конкретно и направленно
21. Слова - орудия опасные
22. Слова созданы для повседневной жизни
23. Магия слов - может приводить к тяжким последствиям (пример - экономические науки)
24. Мыслить конкретно
25. События локализованы в пространстве и времени
26. Активное будущее. Пассивное прошлое
27. Абстрагирование - замена интуитивных представлений на знаковую конструкцию
28. Определение высоты горы - замена геометрического понятия высоты - на динамический потенциал/энергию (конкретный динамический потенциал конкретной горы)
29. Слова “прошлое” и “будущее” - выражают причинную структура мира
30. Мыслить в терминах причинной структуры (VS временной структуры)
31. Чертеж - не более, чем наглядный образ (картинка)
32. Замена интуитивного чертежа - конструкцией, состоящей из одних знаков
33. Мир - четырехмерный континуум
34. Математик - обращается к абстракции. Переходит на язык знаков. Тут неспециалист перестает понимать его
35. Геометрическими, а потом и чисто символьными конструкциями - математика стряхивает оковы языка
36. Математика наших дней в сфере интеллектуального мира - более эффективна, чем современные языки в их жалком состоянии и даже музыка в своих областях (Андреас Шпайзер)
37. Магия знаковой конструкции
38. Предметы могут исчезнуть, но запись об их числе - сохранится
39. Записи позволяют обнаружить различие без прямого наблюдения (информация - есть действенное различие)
40. Мы привыкли к чудесам, творимыми числовой символикой, что перестали им удивляться
41. Мы порождаем открытую последовательность всех возможных чисел, начинающуюся с 1 или 0
42. Существующее проектируется на фундамент возможного (на многообразие возможного), развертывающееся путем итерации и простирающееся в бесконечность
43. Последнего числа - не существует!!!
44. Возможность “всегда увеличить на единицу” - лежит в основе математики
45. Полная индукция - утверждение справедливо для всех n
46. Умозаключение с помощью полной индукции. Чтобы доказать, что каждое n обладает некоторым свойством V - достаточно удостовериться в правильность двух вещей
47. Концепция пространства - конструктивное задание всех возможных местоположений
48. Топологическая точка зрения - два континуума, получающиеся один из другого путем непрерывной деформации - совпадают (изоморфизм)
49. Окружность S можно разбить на бесконечное количество дуг - путем последовательного деления на 2 каждой дуги (генерация id-шников в двоичной логике)
2. Самое важное для образованного человека - умение мыслить в терминах переменных и функций
3. Функция записывает зависимость одной переменной y от другой переменной x
4. Обобщенно функция - отображает одно множество (область значений переменного элемент x) - на другое (или тоже самое) множество
5. Понятие функции (или отображения) - одно из самых фундаментальных понятий математики
6. Виет способствовал введению адекватной алгебраической символики
7. Галилей превратил законы природы - в математическую функцию
8. Черты любой математической процедуры:
- наличие переменных
- представление переменных с помощью знаков
- наличие функции
9. Время - есть независимая переменная
10. Принцип непрерывности - сформулирован Лейбницем
11. Покой - не противоположность движения, а - его предельный случай
12. Логика Аристотеля - переход от единичного к общему - за счет выявления общих абстрактных свойств и отбрасывание остальных (создание рода, класса, множества, категории)
13. П.12 - описательная классификация - ориентирована на реально существующие объекты
14. Идея функции господствует при формировании математических понятий
15. Функция порождает конкретную сущность (пример - эллипс - E(a, b, c))
16. Переход от конкретного эллипса к общему понятию (формуле функции) - не требует отбрасывания каких-либо специфических различий (vs п. 12)
17. Информация - есть действенное различие (Бейтсон. Разум и природа)
18. Общее понятие конкретной функции распространяется на все возможные, чем на все актуально существующие характеристики
19. Математика снискала дурную славу из-за разреженного воздуха абстракций
20. Вера в слова - должна быть поколеблена. Учиться мыслить - более конкретно и направленно
21. Слова - орудия опасные
22. Слова созданы для повседневной жизни
23. Магия слов - может приводить к тяжким последствиям (пример - экономические науки)
24. Мыслить конкретно
25. События локализованы в пространстве и времени
26. Активное будущее. Пассивное прошлое
27. Абстрагирование - замена интуитивных представлений на знаковую конструкцию
28. Определение высоты горы - замена геометрического понятия высоты - на динамический потенциал/энергию (конкретный динамический потенциал конкретной горы)
29. Слова “прошлое” и “будущее” - выражают причинную структура мира
30. Мыслить в терминах причинной структуры (VS временной структуры)
31. Чертеж - не более, чем наглядный образ (картинка)
32. Замена интуитивного чертежа - конструкцией, состоящей из одних знаков
33. Мир - четырехмерный континуум
34. Математик - обращается к абстракции. Переходит на язык знаков. Тут неспециалист перестает понимать его
35. Геометрическими, а потом и чисто символьными конструкциями - математика стряхивает оковы языка
36. Математика наших дней в сфере интеллектуального мира - более эффективна, чем современные языки в их жалком состоянии и даже музыка в своих областях (Андреас Шпайзер)
37. Магия знаковой конструкции
38. Предметы могут исчезнуть, но запись об их числе - сохранится
39. Записи позволяют обнаружить различие без прямого наблюдения (информация - есть действенное различие)
40. Мы привыкли к чудесам, творимыми числовой символикой, что перестали им удивляться
41. Мы порождаем открытую последовательность всех возможных чисел, начинающуюся с 1 или 0
42. Существующее проектируется на фундамент возможного (на многообразие возможного), развертывающееся путем итерации и простирающееся в бесконечность
43. Последнего числа - не существует!!!
44. Возможность “всегда увеличить на единицу” - лежит в основе математики
45. Полная индукция - утверждение справедливо для всех n
46. Умозаключение с помощью полной индукции. Чтобы доказать, что каждое n обладает некоторым свойством V - достаточно удостовериться в правильность двух вещей
- 0 - обладает свойством V
- n - обладает свойством V и n+1 также обладает свойством V
47. Концепция пространства - конструктивное задание всех возможных местоположений
48. Топологическая точка зрения - два континуума, получающиеся один из другого путем непрерывной деформации - совпадают (изоморфизм)
49. Окружность S можно разбить на бесконечное количество дуг - путем последовательного деления на 2 каждой дуги (генерация id-шников в двоичной логике)
50. Точка окружности однозначно определяется бесконечной двоичной дробью
51. Через подобное деление мы приходим к чисто символьному описанию процесса трансформации топологической схемы
52. Необходимо лишь придумать, как составить систематический каталог частей, возникающих при последовательных разбиениях
53. Такие фундаментальные понятия, как предел, сходимость и непрерывность - возникли в русле этой математической конструкции
54. Решающий ход математической абстракции - забудем, что означают символы. Математики имеют дело только с каталогом знаков
55. В связке “знак” - “означаемое”. Математики работают только со знаками
56. Заменяя точки пространства знаками - создается знаковая конструкция - топологическое пространство {So}
57. Детали - несущественны. Важно лишь то, что задана исходная символьная схема So - мы следуем абсолютно жестким правилам знакового конструирования
58. Идея итерации (встречается при построении последовательного ряда натуральных чисел) - и на этот раз играет решающую роль
59. Знаковая схема - как схема последовательных разбиений
60. Математиков интересует не применение схемы или каталога, а - схема сама по себе (лишенная неясности)
61. Проделанный путь - от многообразия к чистой символике - продиктован исключительно эвристическими соображениями
51. Через подобное деление мы приходим к чисто символьному описанию процесса трансформации топологической схемы
52. Необходимо лишь придумать, как составить систематический каталог частей, возникающих при последовательных разбиениях
53. Такие фундаментальные понятия, как предел, сходимость и непрерывность - возникли в русле этой математической конструкции
54. Решающий ход математической абстракции - забудем, что означают символы. Математики имеют дело только с каталогом знаков
55. В связке “знак” - “означаемое”. Математики работают только со знаками
56. Заменяя точки пространства знаками - создается знаковая конструкция - топологическое пространство {So}
57. Детали - несущественны. Важно лишь то, что задана исходная символьная схема So - мы следуем абсолютно жестким правилам знакового конструирования
58. Идея итерации (встречается при построении последовательного ряда натуральных чисел) - и на этот раз играет решающую роль
59. Знаковая схема - как схема последовательных разбиений
60. Математиков интересует не применение схемы или каталога, а - схема сама по себе (лишенная неясности)
61. Проделанный путь - от многообразия к чистой символике - продиктован исключительно эвристическими соображениями
62. Такой же подход позволяет строить 1-, 2-, 3- …. n-мерные пространства
63. Для локализации событий (всех возможных “здесь-теперь”) допустимо воспользоваться некоторой 4-мерной схемой - физические величины изменяются в пространстве и времени
64. Наш мир - 4-мерный континуум
65. Специальная теория относительно рассматривает причинную структуру как нечто геометрическое, жесткое, заданное раз и навсегда
66. В общей теории относительности - эта структура обретает гибкость и зависимость от вещества - так же, как, например, электромагнитное поле
67. Анализ природы - расчленение явления на простые элементы, каждый из которых меняется в определенном диапазоне возможностей
68. Диапазон возможностей строится чисто комбинаторным образом из некоего чисто знакового материала
69. Количественный анализ природы
70. Мощь науки - в опоре на комбинацию априорных знаковых конструкций и систематического опыта (экспериментов; наблюдений)
71. Галилей: “величественную книгу природы может понять лишь тот, кто сначала научился постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее - треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова”
72. {So} и {To} - два топологических пространства. Существует непрерывные взаимооднозначные преобразования данных пространств друг на друга. Изоморфизм
73. Изоморфные картины приводят к одним и тем же результатам во всем, что касается наблюдаемых фактов. Это - принцип относительности в его наиболее общей форме
74. Последовательность натуральных чисел - продукт математического конструирования
75. Итерация - действие по созданию нового числа (частный случай итерации)
76. Умозаключения основываются на свидетельствах относительно совершенно ясного и понятного процесса, посредством которого порождаются натуральные числа, а не на каких-то принципах формальной логики, подобных силлогизму и пр.
77. Извлечение следствий - не есть дело конструктивно мыслящего математика
78. Логические выводы и суждения - не более чем аккомпанемент к его деятельности, к созданию конструкций
79. Пример - последовательный перебор целых чисел - 0, 1, 2… Четное - не четное - четное. Формулировка общего суждение теории чисел: “Каждое целое число либо четно, либо нечетно”
80. Помимо идеи итерации - постоянно используется отображение, или - функция
81. Пример функции, определяющей четность или нечетность числа:
P(0) = 0
P(n) = 1 (нечетное) если P(n-1) = 0
P(n) = 0 (четное) если P(n-1) = 1
82. Конструктивный метод в математике соперничает с неконструктивным методом - аксиоматическим
83. Для математика безразличен смысл слов (выражающих основные понятия)
84. Математику не интересует истинность аксиом, а лишь - их непротиворечивость
85. Идея 1870г.: Математика - наука, извлекающая следствия (Б.Пирс). Герман Вейль, считает, что это определение содержит скудную картину относительно подлинной природы математики
86. В основе топологии - должен лежать полный перечень аксиом, определяющих топологическую схему
87. Понятие группы - одно из простейших и наиболее фундаментальных понятий, задаваемых аксиоматически
88. Понятие группы - проникло во все разделы математики
89. Алгебра с полями и кольцами - от вершины до основания пронизана аксиоматическим духом
90. Математические исследования - смесь процедур: конструктивной и аксиоматической
91. Два подхода в математических исследованиях
92. Математика - прежде всего конструкция. Аксиомы - лишь устанавливают границы областей значения переменных, которые участвуют в конструкции
93. В общей теории относительности - причинная структура - нечто гибкое (должна лишь удовлетворять некоторым аксиомам)
94. Выводимые законы природы - являются результатом теоретических построений с использованием переменных (гибких физических сущностей)
95. Релятивистская космология изучает топологическую структуру Вселенной в целом (открытая Вселенная или замкнутая и т.д.)
96. Топологическая схема ограничена лишь некоторыми аксиомами
97. Тополог извлекает из произвольных топологических схем численные характеристики или устанавливает между ними отношения общего рода - с помощью явной конструкции, в которой произвольные схемы - переменные
98. Аксиомы - служат для указания границ области значения переменных в явно построенных функциональных соотношениях
99. Аксиоматическая система не предполагает построения математических объектов
100. Расхождение между явной конструкцией и неявным аксиоматическим определением - затрагивает самые основы математики
101. Ради полноты физика проецирует то, что дано, на то, что могло бы быть
102. Последовательность целых чисел - конструкция, порожденная разумом; простейшая и самая прозрачная для конструктивного ума вещь
103. Несмотря на возраст - математика не страдает прогрессирующим склерозом, вызванным все возрастающей сложностью
104. Математика продолжает активно жить, питаясь живительными соками, которые извлекают ее глубокие корни из разума и природы
63. Для локализации событий (всех возможных “здесь-теперь”) допустимо воспользоваться некоторой 4-мерной схемой - физические величины изменяются в пространстве и времени
64. Наш мир - 4-мерный континуум
65. Специальная теория относительно рассматривает причинную структуру как нечто геометрическое, жесткое, заданное раз и навсегда
66. В общей теории относительности - эта структура обретает гибкость и зависимость от вещества - так же, как, например, электромагнитное поле
67. Анализ природы - расчленение явления на простые элементы, каждый из которых меняется в определенном диапазоне возможностей
68. Диапазон возможностей строится чисто комбинаторным образом из некоего чисто знакового материала
69. Количественный анализ природы
70. Мощь науки - в опоре на комбинацию априорных знаковых конструкций и систематического опыта (экспериментов; наблюдений)
71. Галилей: “величественную книгу природы может понять лишь тот, кто сначала научился постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее - треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова”
72. {So} и {To} - два топологических пространства. Существует непрерывные взаимооднозначные преобразования данных пространств друг на друга. Изоморфизм
73. Изоморфные картины приводят к одним и тем же результатам во всем, что касается наблюдаемых фактов. Это - принцип относительности в его наиболее общей форме
74. Последовательность натуральных чисел - продукт математического конструирования
75. Итерация - действие по созданию нового числа (частный случай итерации)
76. Умозаключения основываются на свидетельствах относительно совершенно ясного и понятного процесса, посредством которого порождаются натуральные числа, а не на каких-то принципах формальной логики, подобных силлогизму и пр.
77. Извлечение следствий - не есть дело конструктивно мыслящего математика
78. Логические выводы и суждения - не более чем аккомпанемент к его деятельности, к созданию конструкций
79. Пример - последовательный перебор целых чисел - 0, 1, 2… Четное - не четное - четное. Формулировка общего суждение теории чисел: “Каждое целое число либо четно, либо нечетно”
80. Помимо идеи итерации - постоянно используется отображение, или - функция
81. Пример функции, определяющей четность или нечетность числа:
P(0) = 0
P(n) = 1 (нечетное) если P(n-1) = 0
P(n) = 0 (четное) если P(n-1) = 1
82. Конструктивный метод в математике соперничает с неконструктивным методом - аксиоматическим
83. Для математика безразличен смысл слов (выражающих основные понятия)
84. Математику не интересует истинность аксиом, а лишь - их непротиворечивость
85. Идея 1870г.: Математика - наука, извлекающая следствия (Б.Пирс). Герман Вейль, считает, что это определение содержит скудную картину относительно подлинной природы математики
86. В основе топологии - должен лежать полный перечень аксиом, определяющих топологическую схему
87. Понятие группы - одно из простейших и наиболее фундаментальных понятий, задаваемых аксиоматически
88. Понятие группы - проникло во все разделы математики
89. Алгебра с полями и кольцами - от вершины до основания пронизана аксиоматическим духом
90. Математические исследования - смесь процедур: конструктивной и аксиоматической
91. Два подхода в математических исследованиях
- Основная процедура - конструктивная, аксиоматическая - вспомогательная
- Основная процедура - вспомогательная, конструктивная - вспомогательная
92. Математика - прежде всего конструкция. Аксиомы - лишь устанавливают границы областей значения переменных, которые участвуют в конструкции
93. В общей теории относительности - причинная структура - нечто гибкое (должна лишь удовлетворять некоторым аксиомам)
94. Выводимые законы природы - являются результатом теоретических построений с использованием переменных (гибких физических сущностей)
95. Релятивистская космология изучает топологическую структуру Вселенной в целом (открытая Вселенная или замкнутая и т.д.)
96. Топологическая схема ограничена лишь некоторыми аксиомами
97. Тополог извлекает из произвольных топологических схем численные характеристики или устанавливает между ними отношения общего рода - с помощью явной конструкции, в которой произвольные схемы - переменные
98. Аксиомы - служат для указания границ области значения переменных в явно построенных функциональных соотношениях
99. Аксиоматическая система не предполагает построения математических объектов
100. Расхождение между явной конструкцией и неявным аксиоматическим определением - затрагивает самые основы математики
101. Ради полноты физика проецирует то, что дано, на то, что могло бы быть
102. Последовательность целых чисел - конструкция, порожденная разумом; простейшая и самая прозрачная для конструктивного ума вещь
103. Несмотря на возраст - математика не страдает прогрессирующим склерозом, вызванным все возрастающей сложностью
104. Математика продолжает активно жить, питаясь живительными соками, которые извлекают ее глубокие корни из разума и природы