Управление организацией

&

математическая логика:

«Мир есть факты в логическом пространстве»

«Границы моего языка есть границы моего мира»

Людвиг Витгенштейн

“Картостроители обладают богатой, сильной, внутренне согласованной структурой, которую они могут детально исследовать и по которой могут выверять ситуацию и совершать соответствующие ответные действия”

“Логичность для них - это соответствие карте, и они честны, когда карта перестает работать. Это не проблема, они просто изменяют ее до тех пор, пока она вновь не становится "логичной"

Alan Carter, Colston Sanger

"The Programmer's Stone"

Ну что ж, уважаемый читатель, в этой Главе мы заходим на очень интересную территорию математической логики первого порядка

О важности и фундаментальности математической логики первого порядка (first-order logic) говорит следующий аргумент - она тесно связана с такой областью знаний, как computer science

В качестве иллюстрации приведем слайд из презентации математика и информатика Моше Варди (бывший руководитель отдела математики и компьютерных наук в IBM)

Переведем содержимое слайда:

“В течение последних пятидесяти лет между логикой и информатикой существовало обширное, непрерывное и растущее взаимодействие

Во многих отношениях логика обеспечивает информатику, как объединяющей фундаментальной структурой, так и инструментом для моделирования вычислительных систем

Фактически логику называют «исчислением информатики»

Логика играет фундаментальную роль в информатике, аналогичную той, которую играет математический анализ (старый добрый МатАн) в физических науках и традиционных инженерных дисциплинах
Логика играет важную роль в следующих разрозненных областях информатики:

• машинная архитектура
• автоматизированное проектирование
• языки программирования
• базы данных
• искусственный интеллект
• алгоритмы
• вычислимость и сложность”

Важное уточнение - Моше Варди ведет речь именно о математической логике первого порядка. Сама же презентация имеет следующее название - ‘Logical revolution’

Считаем доказанными важность, нужность и полезность математической логики первого порядка в контексте решения задачи - приручение компьютера для нужд народного хозяйства (цифровой трансформации)!

Ну что ж, уважаемый читатель, у нас нет иного пути, кроме как начать потихоньку разбираться - что ж это за зверь такой диковинный - математическая логика первого порядка

Разбираться будем неспешно и без резких телодвижений - чтобы не спугнуть наши нейроны

Как и в случае с формальной логикой (нулевого порядка) начнем с решения детской задачи

Условие задачи:

Внимание Андрея, Дениса и Марата привлек промчавшийся мимо них автомобиль
- Это английская машина марки “Феррари”, - сказал Андрей
- Нет, машина итальянская марки “Понтиак", - возразил Денис
- Это “Сааб”, и сделан он не в Англии, - сказал Марат

Оказавшийся рядом знаток автомобилей сказал, что каждый из них прав только в одном из двух высказанных предположений

Какой же марки автомобиль и в какой стране изготовлен?

Для понимания магии и мощи математической логики первого порядка предлагаем уважаемому читателю поставить чтение на паузу и поломать голову над решением данной задачи

Отдельно отрефлексируйте - какими способами вы будете пытаться решить данную задачу. Вы получите очень ценный материал, который принесет вам пользу при ознакомлении с дальнейшим содержанием данной Главы

А мы начнем решать детскую задачку

Как и задачу с поставщиком и коммерческими предложениями - решать будет разными методами: методом математической логики нулевого порядка и первого порядка

Решение №1: метод математической логики нулевого порядка

Итак - у нас есть три высказывания, каждое из которых содержит два умозаключения, при этом во всех высказываниях истинно лишь одно умозаключение

Учитывая данное условие - мы имеем полное моральное и логическое право - построить следующую таблицу:

Как говорится - круг подозреваемых сузился

Любопытный уважаемый читатель спросит, а зачем так сложно формулировать “не Англия” если страны всего две?

Очевидно же, что если “не Англия”, то “Италия”

И будет конечно же прав!

Но только лишь в данном конкретном случае, когда переменная может принимать лишь два значения (true/false)

На примере с марками автомобилей хорошо и четко видно, что отрицая один из брендов (“не Сааб”), мы не можем найти истинный бренд (Феррари или Понтиак?)

Зафиксируем “отрицание” как важное логическое условие. Вспоминаем, что на языке математической логики отрицание обозначается вот такой закорючкой ¬

Также обратим внимание на важный логический нюанс в высказывании Марата, в котором он утверждает “Не Англия и Сааб”. В том случае, если истинно высказывание про “Сааб”, то не истинным будет высказывание “Не Англия”, т.е. “Не(не Англия)” будет истинным, равно как будет истинным высказывание “Англия”

Данная логическая операция называется отрицанием отрицания (интересный нюанс, уважаемый читатель, не так ли?)

¬(¬A) ⇔ A

Далее - воспользуемся языком математической логики и переведем с естественного языка наши возможные истинные высказывания

Введем пять переменных (высказываний)

E ⇔ машина произведена в Англии
I ⇔ машина произведена в Италии
F ⇔ машина имеет марку Ferrari
P ⇔ машина имеет марку Pontiac
S ⇔ машина имеет марку Saab

Ничего страшного и непонятного, верно же, уважаемый читатель?

Мы знаем, что в каждой паре возможных истинных высказываний каждого мальчика - истинно лишь одно, т.е. мы имеем следующую логическую формулу - “А или В”

В языке математической логики условие “ИЛИ” обозначается вот такой “птичкой” - ∨

А ∨ В - истинно либо А либо B

Имея 5 переменных, которые могут принимать одно из двух значений - наша полная таблица истинности будет состоять из 32 строк (2 в 5 степени)

Однако, уважаемый читатель, мы же с вами не безмозглые компьютеры - наша природная смекалка подсказывает нам, что машина не может быть одновременно и английской и итальянской, равно как и не иметь страны производителя. Ровно также мы смекнули и про марки автомобилей

Оптимизируем нашу таблицу - английская машина может быть одной их трех марок, равно - как и итальянская

Получаем таблицу для перебора 6 строк

Отмечаем все возможные значения: единичка в ячейке означает истинность утверждения; пустая ячейка - ложность утверждения

Теперь - перенесем смысл полученных закорючек математической логики в логические формулы MS Excel

Добавим три колонки - по одной для каждого автоэксперта

Далее нам нужно написать три логических формулы, отражающих три полученных истинных высказывания

В общем виде на языке MS Excel формула проверки истинности выглядит следующим образом

=ИЛИ (И(A;B); И(¬A;¬B))

Отдельно обращаем ваше внимание на роль скобок (хвала Лейбницу!) в данной формуле, которая имеет следующий синтаксис - ИЛИ(И(*); И(*))

Уважаемый читатель, скажите честно, а вы знали, что в MS Excel есть логические функции?

Вот и мы не знали, а они - есть!

Напишем три конкретных формулы для проверки высказываний каждого мальчика

Перенесем наши формулы в искусственный интеллект MS Excel, коим он, по нашему твердому убеждению, должен обладать

Ба! Утверждение, что автомобиль является английским Саабом - не противоречит тому, что сказали Андрей и Марат (хотя, если посмотреть, на их исходные утверждения - видим противоречие, что утверждение Андрея истинно про страну, а утверждение Марата - истинно про марку)

Добавление формулы проверки истинности высказывания Дениса окончательно вносит ясность в ситуацию и математически строго доказывает, что мальчишки видели точно не английский Saab (это не английский Понтиак, равно как не итальянский не Понтиак)

Поняв, что от него требуется - Искусственный интеллект MS Excel’я пробегает по остальным пяти строкам и выносит беспристрастный вердикт

Постановление MS Excel:

“Группа лиц, состоящая из Андрея, Дениса и Марата, будучи в сговоре с целью увидеть автомобиль - увидели его! Но объяснить толком ничего не смогли!

Учитывая противоречия в показаниях каждого из членов группы лиц - было принято решение о проведении расследования

Проведенное логическое расследование установило, что группа лиц в результате предварительного сговора увидела автомобиль итальянского производства марки Ferrari

Решение окончательное, но может быть обжаловано в Институте математики им. Соболева СО РАН”

Итак - мы решили задачу, используя логику нулевого порядка (логика высказываний)

Обобщим алгоритм решения задачи:

1. Проанализировали условия задачи
2. Вывели возможные истинные высказывания
3. Перевели возможные истинные высказывания с естественного языка на язык математической логики
4. Сформулировали три истинных высказывания на языке математической логики
5. Перевели три полученных формулы на язык логической функции MS Excel
6. Соорудили электронную таблицу истинности в MS Excel (с перебором вариантов и внесением логических формул/функций)
7. Методом перебора шести строк таблицы вычислили истинный ответ (Ferrari из Италии)

Является ли данное решение элегантным?

Это дело вкуса

Мы же с вами, уважаемый читатель, не про вкусовщину, а про строгую логику, ценность которой в строгой однозначности!

Предлагаем обратить внимание на количество строк в нашей боевой таблице истинности

Для поиска ответа мы использовали таблицу, состоящую из шести строк. При этом мы помним, что полная таблица истинности, отражающая все возможные комбинации значений переменных состоит из 32 строк

На всякий случай разжуем природу 32 строк:

• 32 - это два в пятой степени (2^5)
• Два - количество возможных значений переменной (ложь/истина)
• Пять - количество переменных

А теперь давайте рассмотрим задачу, в которой фигурируют не две, а 10 стран, и не 3 марки автомобиля, а 20

Географически подкованный читатель знает, что в реальном мире количество стран больше, чем 10

А мало-мальски интересующийся автомобилями читатель подтвердит, что природа нам дала больше 20 марок автомобилей

Таким образом - условие задачи с 10 странами и 20 марками автомобилей - не является причудой сумасшедших математиков, высосанной из пальца

Так вот - сколько строк будет содержать таблица истинности для решения задачи с данными условиями?

Правильно - количество строк таблицы истинности будет равняться 2 в 30 степени

1.073.741.824 строк

Если же вдруг уважаемого читателя не смущает создание и перебор таблицы с более чем миллиардом строк (это же компьютер - пущай работает!), то приведем финальный логический аргумент - это число ровно в 1.024 раз превышает максимально возможное количество строк на одном листе электронной таблицы MS Excel

Подведем итоги:

• Применив логику нулевого порядка - с грехом пополам задачу мы решили
• При этом считаем, что нам также удалось продемонстрировать границы подобного мышления: логика высказываний (математическая логика нулевого порядка) физически не подходит для работы со сложными системами (содержащими большое количество элементов, атрибутов элементов и связей)

Прежде чем перейти к решению задачи методами математической логики первого порядка - давайте познакомимся с фундаментом данной логики - ПРЕДИКАТОМ

Предикат - это базовая сущность и основа математической логики первого порядка

Предикат - это функция

Специфика предиката, как функции, заключается в том, что он может принимать лишь два значения - ЛОЖЬ (0) или ИСТИНА (1)

Примеры простейших предикатов:

• isCity(‘Новосибирск’) = 1
• isCity(‘Москва’) = 1
• isCapital(‘Москва’) = 1
• isCapital(‘Новосибирск’) = 0

isCity и isCapital - два предиката, отвечающие на вопрос - является ли аргумент (то, что в скобках) городом и столицей

К примеру - isCity(‘шуруп’) = 0 (Мы проверили, такого города не существует)

Названия предикатов (isCity, isCapital и т.п.) изначально не существуют и задаются человеком

Ничего сложного и непонятного, не так ли?

Тем временем, уважаемый читатель, мы незаметно шаг за шагом добрались до такого интеллектуального инструмента как - функция!

Появление в нашем языке функции - весьма знаковое событие!

Мы специально пробежались по всему, что излагали ранее и обнаружили, что слово “функция” использовалось в нашем тексте лишь два раза

1. В цитате Германа Вейля: “Галилей превратил законы природы в математическую функцию”
2. И один раз в данной Главе - когда мы с вами писали логическую функцию для MS Excel

Считаем, что данный факт является дополнительным аргументом к тезису, что обратив свой взор на математическую логику первого порядка (логику предикатов) - мы совершаем определенный фазовый переход в нашем мышлении

К слову, само мышление - также является функцией!

Также наша лингвистическая и философская радость подкрепляется тем фактом, что компьютер, охоту на которого мы ведем, является сверхбыстрым калькулятором, исполняющим функции (!!!)

Так что - у кого были сомнения на тот счет, что в своих рассуждениях мы ведем нас куда-то не туда - сомнения прочь!

Предикат (функция) - является базовой сущностью математической логики первого порядка, которую также называют логикой предикатов

В математической логике нулевого порядка - функции отсутствуют, ее основа - высказывания. Именно поэтому логику нулевого порядка называют логикой высказываний

В общем, уважаемый читатель уже понял, что функция - крайне важная, ценная и полезная методическая и интеллектуальная находка

Давайте разбираться с прикладной ценностью предиката (функции) - чем он может быть полезен нам в народном хозяйстве, а также в деле приручения и одомашнивания компьютера

Смело заявляем следующее - использование предикатов в народном хозяйстве открывает следующие возможности:

1. Однозначно и полно описывать сложные системы (объекты, связи, состояния)
2. Производить вычислительные и логические операции с описанными системами

Напомним, что математическая логика нулевого порядка (высказываний) не способна справиться с описанными задачами - см. пример с 30 переменными и системой из 1.073.741.824 строк

Также считаем доказанным неспособность решать озвученные задачи использованием естественного языка, расширенного языком схем (рисунков)

Уважаемый читатель конечно же помнит, что любая организация - сложная система, которой необходимо управлять

Например, большинство организаций, как система, содержат следующие объекты управления (множества):

• сотрудники
• заказчики
• сырье
• поставщики
• оборудование
• бюджеты
• планы
• контракты
• совещания
• сделки
• транзакции
• и многое многое другое

Продолжим наше знакомство с предикатами и их товарищами, а затем рассмотрим решение задачи про определение марки и родины автомобиля методами логики предикатов

Возьмем классический кейс Аристотеля про конечность жизни и смертность Сократа

На естественном языке кейс формулируется следующим образом:
Всякий человек смертен. Сократ - человек. Следовательно - Сократ смертен

На языке математической логики нулевого порядка он выражается следующей формулой (кодом):

(A → B) & (С → A) ⇒ (C → B)

В логике предикатов данный кейс описывается следующей формулой:

(∀x)(isMan(x) → isMortal(x))

Считаем, что поводов пугаться данной формулы и впадать во фрустрацию - нет. Появился лишь один незнакомый знак - ∀, который означает “для всех”

Внимательный читатель, как человек, который уже не первую минуту владеет основами предикатов, увидел в данной формуле два предиката - isMan и isMortal

Предикат (функция) isMan - отвечает на вопрос - является ли аргумент предиката человеком

Предикат (функция) isMortal - отвечает на вопрос - является ли аргумент смертным

Запись ∀x - означает “для всех икс” (или "для каждого икс")

Строго говоря - данная формула определяет, что все люди (как множество) смертны

Для пущей дотошности в таблице ниже мы разложили все элементы формулы по полочкам их значений:

Вслед за предикатом мы сталкиваемся и вводим в наш управленческий язык и практику второй новый термин - квантор (∀ - один из кванторов)

Кванторы позволяют проводить интеллектуальные операции с объемными характеристиками объектов или множеств

По факту - каждый из нас использует кванторы в естественном языке каждый день, просто до этого момента знание про такую штуку как “квантор” для нас было избыточным; бесполезным

В примерах ниже кванторы - выделены:

1. Отрежьте мне половину булки хлеба
2. Проект завершен на 90%
3. Большинство сотрудников организации - привиты

Для примера и неспешного погружения в мир логики предикатов (как полезного управленческого инструмента) давайте опишем несколько управленческих ситуаций

Ситуация - все сотрудники получают заработную плату:

(∀x)(Employee(x) → ReceiveSalary(x))

Введем еще один квантор - ∃

∃ - квантор существования, означающий что в множестве существует как минимум один объект (экземпляр)

Попробуйте прочитать и извлечь смысл из следующей формулы:

(∃x)(Employee(x) & ¬ReceiveSalary(x))

Смысл на естественном языке: в данной ситуации существует как минимум один сотрудник, который не получает зарплату

Отметим изменение в записи - символ → (следовательно) мы заменили на символ & (И - пересечение множеств)

Визуально данную ситуацию можно выразить следующим рисунком

Уверены, что уважаемый читатель лишний раз убедился в эффективности языка формул (кода), сравнив рисунок и формулу, которые по сути несут ровно один и тот же смысл

Описание следующей ситуации попытайтесь интерпретировать уже без спойлера с нашей стороны (мы разместили его после формулы)

(∃x)(¬Employee(x) & ReceiveSalary(x))

В данной ситуации - есть люди, которые получают заработную плату, при этом не являясь сотрудниками

Ну что ж - теперь мы интеллектуально, методически, психологически и морально готовы рассмотреть решение задачи про автомобили методом логики предикатов

Но сначала считаем нужным напомнить цитату, которую мы использовали в начале Главы:

“Картостроители обладают богатой, сильной, внутренне согласованной структурой, которую они могут детально исследовать и по которой могут выверять ситуацию и совершать соответствующие ответные действия”

“Логичность для них - это соответствие карте, и они честны, когда карта перестает работать. Это не проблема, они просто изменяют ее до тех пор, пока она вновь не становится "логичной"

Решение №2: метод математической логики первого порядка

Для начала воспользуемся нашими наработками в области математической логики нулевого порядка

Теперь изложим смысл данных формул, но уже на языке математической логики первого порядка

Уже практически наизусть зная, что сказали три мальчика на естественном языке, имея перед глазами формулы математической логики нулевого порядка - формулы в правой колонке таблицы даже кажутся более простыми и понятными

Скептически настроенный уважаемый читатель возмутится - все это время мы шли по пути повышения эффективности языка за счет уменьшения количества используемых знаков, а тут количество знаков (букв) увеличилось

Все верно. Но в данном случае - увеличение количества знаков в нашем арсенале открывает возможность решать более сложные задачи, связанные с проектированием и анализом сложных управленческих систем

Кстати - описание ситуации с использованием двух предикатов Country и Brand сразу делает описание системы человекочитаемым и интуитивно понятным для маломальски подготовленного человека (на контрасте с дао-синтаксисом математической логики нулевого порядка)

На всякий случай озвучим очевидное:

• Country(eng) - означает, что автомобиль английский
• Brand(S) - означает, что марка автомобиля Saab

Суть задачи с точки зрения логики предикатов - вычислить два истинных предиката - Country(x) и Brand(y)

Где x - название конкретной страны из ВСЕГО МНОЖЕСТВА стран

Где y - название конкретной марки автомобиля из ВСЕГО МНОЖЕСТВА марок автомобилей

Помните, в примерах с описанием ситуации, отражающей платежную дисциплину в организации - мы оперировали ВСЕМИ СОТРУДНИКАМИ компании

Обозначали их мы вот так:

(∀x)(Employee(x))

Введем и начнем использовать третье фундаментальное понятие логики предикатов, которым мы обещали обогатить управленческий язык - УНИВЕРСУМ

Такой авторитетный источник как Википедия дает следующее определение термину универсум:

Совокупность объектов и явлений в целом, рассматриваемая в качестве единой системы, то есть объективная реальность во времени и пространстве

Звучит вдохновляюще, не так ли, уважаемый читатель?

Написав первую формулу - мы создали универсум, состоящий из ВСЕХ сотрудников организации:

(∀x)(Employee(x))

В считанные секунды мы можем расширить созданный нами универсум всеми клиентами, создав новый предикат:

(∀x)(Employee(x)) & (∀y)(Client(y))

… и услугами, которые оказывает им организация:

(∀x)(Employee(x)) & (∀y)(Client(y)) & (∀z)(Service(z))

Графически созданный нами универсум выглядит следующим образом:

Вернемся к нашей задаче

Из какого количества предикатов (цветных кружочков) состоит наш универсум?

Рассуждаем логически:

1. Мы фокусируем наше внимание на машине
2. Наш универсум - это машина
3. Нам нужно установить объективную реальность - объективное состояние системы, в котором она находилась в то время и в том месте, когда трём мальчикам посчастливилось ее наблюдать
4. Наш универсум (машина) - состоит из двух предикатов - страны-родины (Country) и бренда автомобиля (Brand)

А как же мальчики и оказавшийся рядом знаток автомобилей? - спросит уважаемый читатель

Как и в математической логике нулевого порядка, так и в логике предикатов - три мальчика (вернее их высказывания) - это три формулы, описывающие состояние универсума, истинность которых нам известна

Отразим их:

Дополним нашу систему формулами, содержащими в себе знания о ВСЕХ существующих странах и ВСЕХ существующих автомобильных брендах

Начнем сразу с хорошей новости - уважаемому читателю не обязательно разбираться и понимать форму и содержание данной формулы

Данная формула обязательна для выведения математиком решения задачи в логике предикатов (и дело тут не в Федеральных законах, регламентирующих мышление математиков)

Для нас же с вами (не рафинированных математиков) важна практическая демонстрация принципов мышления и работы интеллекта в математической логике первого порядка

Ключевой принцип - мышление от общего к частному; от целого - к частям

Формула А1 содержит в себе описание ситуации, в которой существует страна-родина автомобиля (∃x), а также существуют все остальные страны (∀z), которые родиной - не являются

Формула А2 аналогичным образом описывает существование бренда увиденной машины (∃x) и множество всех остальных брендов, но которые не имеют отношения к данной конкретной машине

Важными и фундаментальными отличиями в решениях одной и той же задачи между логиками нулевого и первого порядка является:

1. Решение, полученное при использовании математической логики нулевого порядка, - истинно лишь для частной ситуации с тремя конкретными брендами и двумя конкретными странами
2. Решение, полученное при использовании логики предикатов - истинно для всех стран и брендов автомобилей

На этом мы заканчиваем погружение в математическую логику и начинаем двигаться в прикладную сторону - в сторону практики, актуальной для каждой организаци

С описанием полного математического решения задачи вы может ознакомиться по ссылке (PDF) (очевидно, что получившийся ответ будет таким же - итальянский Ferrari)

В заключении подведем итог и смысл мучительного скрещивания темы управления организацией и математической логики первого порядка:

1. Универсум - совокупность объектов и явлений в целом, рассматриваемая в качестве единой системы, то есть объективная реальность во времени и пространстве

2. Естественный язык, равно как и язык схем - не эффективен в решении задачи описания универсумов, отличных от примитивных

3. Универсум в логике предикатов - система, описанная математиком при помощи знаков. Система содержит формулы, отражающие фактическое (истинное) состояние системы в пространстве и времени, которые в свою очередь предоставляют возможность императивного доказательства (проверки) изначально неизвестных (недоступных для прямого наблюдения) состояний и свойств системы

4. Каждая организация обладает совокупностью объектов и явлений в целом (см. п.1)

5. Каждая организация может и должна рассматриваться в качестве единой системы (см. п.1)

6. Значения параметров объектов каждой организации (как сложной единой системы) изменяются в пространстве и времени (объективная реальность) (см. п.1)

7. Вывод: представляется разумным и не притянутым за уши рассмотреть принципы, методы и способы мышления, используемые математиками в математической логике первого порядка, на предмет распространения их использования в народном хозяйстве в самом широком смысле этого слова. В частности в следующих областях: управление организациями, цифровая трансформация организаций и экономики в целом

p.s. В целях выхода за рамки детских задач предлагаем уважаемому читателю изучить и попытаться решить следующую задачу:

Универсум организации (задачи):
Ситуация состоит из организации, клиентов и оказываемых им услуг

Ключевые множества ситуации (универсума):

• Отделы организации - 3 штуки (d1…d3)
• Сотрудники - 10 человек (s1…s10)
• Набор конкретных услуг - 5 регламентированных услуг (sv1..sv5)
• Определенный круг клиентов - 20 клиентов (c1…c20)
• Факт оказания услуги (уникальный id - 1, 2, 3…)

Задача:
В условиях серии наших примеров, руководитель организации пытается восстановить информацию из потерянного контракта (на бумажном носителе)

Всё, что знает руководитель, это то, что услуга по данному контракту была оказана клиенту c5. Методом исключения отдел документации установил, что у потерянного контракта был id-номер 137

Начальник первого отдела вспомнил, что, кажется в этом контракте была указана услуга sv1 и предоставил её сотрудник s2

Начальник второго отдела с долей сомнения утверждает, что в этом контракте была услуга sv2 и выполнил её сотрудник s4

Начальник третьего отдела возразил, сказав, что это точно была не услуга sv1, а контракт выполнил сотрудник s6

Системный администратор, который никогда не ошибается, сказал, что каждый из трёх начальников отделов прав только в одном из своих высказываний.

Можно ли из этих обрывочных данных восстановить наименование услуги и имя сотрудника, которые были указаны в контракте 137?

Решение данной задачи - по ссылке